->
est dérivable au point d'abscisse "a", si et seulement si il existe une
fonction j :
-> continue en au point
d'abscisse "a", telle que f(x) = f(a) + j (x)
× (x-a).Voici des démonstrations de dérivation de produit de fonctions, quotients, composition et réciproque selon une méthode classique trouvée par Caratheodory en 1950, qui est bien meilleure que les démonstrations classiques.
Formulation de la dérivée selon Caratheodory, (1950 p.121).
J'ai suivit le l'excellent livre de E. Hairer et G.Wanner, "L'analyse au fil de l'histoire" ed. springer.
Ce document se trouve sur au format Acrobate reader sous Caratheodory.pdf
Il est de bien meilleur qualité. Il s'imprime sur une page A4.
La fonction f : ->
est dérivable au point d'abscisse "a", si et seulement si il existe une
fonction j :
-> continue en au point
d'abscisse "a", telle que f(x) = f(a) + j (x)
× (x-a).
La valeur j (a) est la dérivée f'(a) de la fonction "f" en "a".
Pour x ¹ a, on a j (x) = (f(x) - f(a)) / (x - a)
Montrons que (f× g)' = f'× g + f× g'
Par hypothèse,
f(x) = f(a) + j (x) × (x-a) et g(x) = g(a) + y (x) × (x-a). Donc
(f× g)(x) = (f(a) + j (x) × (x-a)) × (g(a) + y (x) × (x-a))
= f(a)× g(a) + (f(a)× y (x) + j (x)× g(a) + j (x)× y (x)× (x-a)) × (x-a)
Le facteur qui multiplie (x-a) est continue et en x=a, il vaut f(a)× g'(a) + f' (a)× g(a). CQFD
Montrons que (f / g)' = (f'× g - f× g') / g2.
Par hypothèse,
f(x) = f(a) + j (x) × (x-a) et g(x) = g(a) + y (x) × (x-a). Donc
(f / g)(x) - (f / g)(a) = (f(a) + j (x) × (x-a)) / (g(a) + y (x) × (x-a)) - f(a) / g(a)
= (f(a)× g(a) + j (x) × (x-a) × g(a) - f(a)× g(a) - f(a)× y (x) × (x-a)) / (((g(a) + y (x) × (x-a)) × g(a))
= (j (x) × g(a) - f(a)× y (x)) × (x-a) / (((g(a) + y (x) × (x-a)) × g(a))
Le facteur qui multiplie (x-a) est continue et en x=a, il vaut (f'(a)× g(a) - f(a)× g'(a)) / g2(a). CQFD
Montrons que (g°f)'(a) = g'(f(a))× f'(a)
Par hypothèse,
f(x) = f(a) + j (x) × (x-a) et g(y) = g(f(a)) + y (y) × (y - f(a)), avec y (f(a)) = g'(f(a)).
En remplaçant "y" par f(x), on a:
(g°f)(x) = g(f(x)) = g(f(a)) + y (f(x)) × (f(x) - f(a)) = g(f(a)) + y (f(x)) × j (x) × (x-a)
Denouveau, le facteur qui multiplie (x-a) est continue,
et en x=a, il vaut g'(f(a)) × f'(a) CQFD
Montrons que rf'(y) = 1 / f'(f(y) ou rf est la fonction réciproque de f.
Par hypothèse,
f(x) = f(a) + j (x) × (x-a) et j (a) = f'(a) ¹ 0.
Si y = f(x) et b = f(a), alors x = rf(y) et a = rf(b). Donc
y = b + j ( rf(y)) × (rf(y) - rf(b)) donc
rf(y) = rf(b) + (y - b) / j ( rf(y)).
Le facteur qui multiplie (y - b) est continue et vaut 1 / f'(f(a)) en y = b. CQFD
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http://www.juggling.ch/gisin/math/Caratheodory.html
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