Voici un problème de mathématique, long à résoudre,
mais assez surprenant. Je crois qu'il vient de Martin Gardner.
Deux nombres entiers entre 2et 50 ont été choisi.
On donne la somme au mathématicien S.
On donne le produit au mathématicien P.
Le but est de déduire les deux nombres, à partir des informations
reçues.
P1) P dit : "Je ne peux pas conclure"
S2) S dit : "Je le savais"
P3) P dit : "Alors maintenant, je peux conclure"
S4) S dit : "Alors moi aussi, je peux conclure"
Pouvez-vous aussi conclure et donner les deux nombres choisis au départ
?
Voici la solution :
Après la phrase P1 de P, on peut éliminer plusieurs paires de
nombres. Par exemple, toutes les paires de deux nombres premiers peuvent être
éliminées. Voici le début de liste de nombre que P peut
avoir reçu :
12 = 2x 6 = 3x 4
16 = 2x 8 = 4x 4
18 = 2x 9 = 3x 6
20 = 2x10 = 4x 5
24 = 2x12 = 3x 8 = 4x 6
28 = 2x14 = 4x 7
30 = 2x15 = 3x10 = 5x 6
32 = 2x16 = 4x 8
36 = 2x18 = 3x12 = 4x 9 = 6x6
40 = 2x20 = 4x10 = 5x 8
42 = 2x21 = 3x14 = 6x 7
44 = 2x22 = 4x11
45 = 3x15 = 5x 9
48 = 2x24 = 3x16 = 4x12 = 6x8
50 = 2x25 = 5x10
52 = 2x26 = 4x13
54 = 2x27 = 3x18 = 6x 9
56 = 2x28 = 4x14 = 7x 8
60 = 2x30 = 3x20 = 4x15 = 5x12 = 6x10
63 = 3x21 = 7x 9
64 = 2x32 = 4x16 = 8x 8
66 = 2x33 = 3x22 = 6x11
68 = 2x34 = 4x17
70 = 2x35 = 5x14 = 7x10
72 = 2x36 = 3x24 = 4x18 = 6x12 = 8x9
...
Après la phrase S2 de S, il ne reste pas beaucoup de sommes possibles,
car le produit des chaque paire de nombre constituant la somme doit appartenir
à la liste précédente. Par exemple la somme ne peut pas
être paire, car tout nombre paire (>4) inférieur à 1000
est somme de deux nombres premiers. (La limite 1000 peut probablement être
repoussée à l'infinie). La somme ne peut pas non plus être
égale à 9, car 9 = 2 + 7, qui est la somme de deux nombres premiers.
Voici les sommes possibles :
11 = 2+ 9 = 3+ 8 = 4+ 7 = 5 + 6
17 = 2+15 = 3+14 = 4+13 = 5+12 = 6+11 = 7+10 = 8+9
23 = 2+21
27 = 3+24
29 = 2+27
35 = 2+33
37 = 2+35
41
47
Tout nombre impaire qui n'est pas supérieur de 2 d'un nombre premier.
51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97, ...
Après la phrase S2 de S, P sait que la somme ne peut être que dans
la liste ci-dessus. Donc seuls les produits suivant sont compatible avec l'affirmation
S2.
18 = 2x9
24 = 3x8
28 = 4x7
30 = 2x15 = 5x 6 donc P ne pourrait pas conclure.
42 = 2x21 = 3x14 donc P ne pourrait pas conclure.
50 = 2x25
52 =4x13
54 = 2x27
60 = 3x20 = 5x12 donc P ne pourrait pas conclure.
66 = 2x33 = 6x11 donc P ne pourrait pas conclure.
70 = 2x35 = 7x10 donc P ne pourrait pas conclure.
72 = 3x24 = 8x 9 donc P ne pourrait pas conclure.
... nombre plus grand que 72.
78 = 2x39 = 3x26 donc P ne pourrait pas conclure.
90 = 2x45 (à éliminer comme produit : 3x30 = 5x45 = 6x15 = 9x10)
92 = 4x23 (à éliminer comme produit : 2x46)
100 = 4x25 (à éliminer comme produit : 2x50 = 5x20 = 10x10)
Après la phrase P3 de P, on sait que le produit est un des nombres suivant
: 18, 24, 28, 50, 52, 54 ou plus de 72.
Après la phrase S4 de S, on peut éliminer 11 comme somme, car
les produits 18, 24 et 28 correspondent à la même somme 11, qui
ne permetterait pas à S de conclure. Par contre 17 comme somme est possible,
car dans ce cas, le seul produit qui permetterait à P de conclure ets
52. Ce qui permet donc à S de conclure aussi.
Conséquence, les deux nombres choisi au départ sont : 4 et 13.
Il n'a pas été montré ici qu'il n'y a pas d'autres paires
de nombres possibles, de produit supérieur à 72 et de somme supérieur
ou égale à 23. Je ne l'ai pas vérifié, mais on me
l'a dit, et je le crois.
23 est à éliminer comme somme, car si 23 était la somme,
P pourrait conclure avec les produits 76=4x19 et 90=5x18, ce qui ne permetterait
pas à S de conclure.
27 est à éliminer comme somme, car si 27 était la somme,
P pourrait conclure avec les produits 50=2x25 et 92=4x23, ce qui ne permetterait
pas à S de conclure.
29 est à éliminer comme somme, car si 29 était la somme,
P pourrait conclure avec les produits 54=2x27 et 100=4x25, ce qui ne permetterait
pas à S de conclure.
etc.
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JeuxMath.html
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( = http://www.juggling.ch/gisin/math/jeux/prob01.html )